Jesper Bengtson
En matematiker og en Anthropic-model fandt søndag aften et modeksempel til en formodning, som fagfolk har skændtes om siden mellemkrigstiden.
Det tog kun et par linjer polynomier at vælte den såkaldte jacobiske formodning, et af de mest omtalte åbne spørgsmål i moderne matematik. Selve svaret er 216 tegn langt og kunne stå i et enkelt opslag på X.
Bag opdagelsen står talteoretikeren Levent Alpöge, der arbejder hos Anthropic og tidligere har haft et fellowship på Harvard, oplyser Coindesk. Sammen med Anthropics nyeste sprogmodel, Claude Fable 5, konstruerede han et modeksempel, som en række uafhængige matematikere bekræftede i løbet af natten.
Formodningen fra 1939
Den jacobiske formodning blev formuleret af den tyske matematiker Ott-Heinrich Keller i 1939. Den handler om polynomielle afbildninger, altså funktioner bygget af polynomier, og siger kort fortalt, at hvis en sådan afbildning opfører sig pænt på en bestemt måde (den såkaldte jacobi-determinant er en konstant, der ikke er nul), så skal afbildningen kunne vendes om med et nyt polynomium.
I 87 år har matematikere forsøgt at bevise påstanden i alle dimensioner uden held. Stephen Smale satte i sin tid problemet på sin berømte liste over de vigtigste matematiske spørgsmål for det nye årtusind.
Alpöges modeksempel består af tre polynomier i tre variable. Determinanten er konstant -2 overalt, men tre forskellige inputpunkter havner alle på outputpunktet (-1/4, 0, 0), beskriver Coindesk. Dermed kan afbildningen umuligt vendes om, og formodningen er falsk i sin nuværende form.
En søndag eftermiddag under VM-finalen
Ideen kom fra kollegaen Akhil Mathew fra University of Chicago, der havde nævnt problemet for Alpöge. Selve arbejdet foregik hen over en søndag, mens fodbold-VM’s finale kørte i baggrunden. På X skrev Alpöge i et opslag, at den jacobiske formodning nu er falsk, og han takkede sin ven Akhil for spørgsmålet og sin anden ven Fable for at arbejde under VM-finalen, gengiver Coindesk det ordret.
Beviset var allerede formaliseret i bevisassistenten Lean, da Kevin Buzzard fra Imperial College London vågnede næste morgen, så det kan efterprøves maskinelt, fortæller han til Fortune.
Fagfolk er delte
Blandt matematikere har opdagelsen udløst både begejstring og ubehag. Buzzard kalder det en stor dag og siger, at det er en fantastisk tid at være i live.
Andre er mere forbeholdne. Akhil Mathew forklarer over for Fortune, at man godt kan verificere, at modeksemplet er korrekt, men at det er svært at fortælle en historie om, hvorfor det virker. Han betegner udviklingen som en meget hurtig og meget foruroligende forandring, især for yngre matematikere. Michael Harris fra Columbia University har i et essay fra juni udtrykt bekymring for, at AI reelt behandler menneskelig forståelse som kommercielt værdiløs.
To dimensioner står stadig åbne
Modeksemplet gælder for tre og flere dimensioner. Den todimensionale udgave af den jacobiske formodning er stadig uafklaret og bliver ikke ramt af Alpöges konstruktion. Der er dog allerede kommet opfølgninger. Ifølge The Next Web har udvikleren Alexis Gallagher brugt OpenAI’s GPT-5.6 til at udvide det enkelte modeksempel til en uendelig familie af eksempler for alle hele tal større end to. Udvidelsen er dog endnu ikke efterprøvet.
For matematikere er hovedspørgsmålet nu, hvad AI kommer til at bruge sin tid på fremover, og hvor meget plads der bliver til den langsommere menneskelige forståelse, når svaret på et 87 år gammelt problem kan komme på en søndag eftermiddag.
